La irracional efectividad de pi

No ignorarás que Π (o sea, pi) es la letra griega que representa el número 3,141592. Bueno, más exactamente representa el número:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
  5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
  8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
  4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
  4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
  4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
  7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
  7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
  3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
  0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
  9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
  6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132

…aunque no nos hemos quedado ahora más cerca de la verdad que antes, ya que pi es un número irracional con infinitas cifras decimales. Si lo representamos con 600 decimales no nos hemos acercado más al infinito que al representarlo con 6, aunque, eso sí, hemos sido un poco más exactos.

Lo más increíble de este absurdo número es que siempre se obtiene al dividir la longitud de la circunferencia entre su diámetro. Con cualquier circunferencia. En cualquier lugar del universo. No importa dónde ni cuándo. Coge una circunferencia (perfecta) cualquiera, divide su longitud entre su diámetro (perfectamente medidos), y obtendrás esa interminable sucesión de números, siempre la misma.

Pero eso es sólo el principio: debido precisamente a su íntima relación con las circunferencias, pi aparece como un factor inmutable en infinidad de relaciones matemáticas que describen fenómenos físicos donde las circunferencias y sus arcos tienen mucho que ver. Fenómenos físicos absolutamente reales con arcos de circunferencia absolutamente perfectos. Encontraremos a pi, como a una vieja conocida, incrustada en la distribución gaussiana de probabilidad, en el periodo de movimiento de un péndulo, en la cantidad de energía que la Tierra recibe procedente del Sol o en la ecuación de onda de un electrón, por poner algunos ejemplos. Es decir, que encontramos a pi entrelazada con el tejido mismo de la realidad.

Esto es lo que el físico Eugene Wigner denominaba la “irrazonable efectividad de las matemáticas” en la naturaleza. Y es que, vamos a ver: ¿por qué ese número concreto, ese número aleatorio en el sentido más absoluto del término, aparece una y otra vez en las descripciones matemáticas de la naturaleza?

Bueno, todo esto ha sido una forma de excusar la fascinación que ejercen algunos números. Muchos grandes cerebros han tratado de idear durante siglos el mejor método para calcular los decimales de pi con precisión. Las mediciones de circunferencias reales son muy limitadas a este respecto debido a los errores en las medidas y a las imperfecciones de cualquier circunferencia real. Pero es posible idear métodos matemáticos que, mediante aproximaciones sucesivas, vayan obteniendo las cifras de pi con absoluta precisión. Estos métodos requieren muchos cálculos repetitivos. Y ahí entran en juego los ordenadores.

Antes del advenimiento de los ordenadores digitales, lo más que se había logrado “a mano” era calcular las primeras 620 cifras decimales de pi. En la actualidad, se ha superado el billón de cifras, y podemos añadir que, por el momento, no se ha podido encontrar ninguna regularidad. Las cifras de pi, ese número tan ligado a la naturaleza, son, por lo que parece, completamente aleatorias.

Un algoritmo (uno de los posibles) para calcular pi es el de Gauss-Legendre, que funciona así:

1. Establecer los valores iniciales: a = 1, b = 1/raiz(2), t = 1/4, p = 1


2. x = (a+b) / 2


3. y = raiz(a * b)


4. t = t - p * (a - x) ^ 2


5. a = x


6. b = y


7. p = 2 * p


8. repetir desde el paso 2 el número de iteraciones que se desee


9. pi = ((a + b) ^ 2) / (4 * t)

No es el único algoritmo, ni el más eficiente. Si quieres saber de donde sale esa lista de instrucciones aparentemente sin sentido, aquí tienes una buena exposición de un algoritmo para calcular pi (es un algoritmo distinto, pero como ejemplo es perfecto). Los programas realmente rápidos para calcular decimales de pi, lo hacen en base 2 o en base 16. No se conoce ningún algoritmo eficiente en base 10.

Sin embargo, hay un viejo chiste de informáticos (no te preocupes si no sabes programar: vas a pillar el chiste igualmente) que dice que la forma más simple de implementar una función que calcule pi es esta:

double calcular_pi()
{
   return 3.141592;
}

...y luego puedes marcharte a tomar una cerveza con la satisfacción del trabajo bien hecho.